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使用R語(yǔ)言進(jìn)行單因素方差分析

2023-04-28 12:24:13
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1、方差分析的基本概念

方差分析(Analysis of Variance, ANOVA),由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)雪(Ronald Aylmer Fisher)于1920年前后提出,最初主要應(yīng)用于生物和農(nóng)業(yè)田間試驗(yàn),后來(lái)推廣到各個(gè)領(lǐng)域。

它直接對(duì)多個(gè)總體的均值是否相等進(jìn)行檢驗(yàn)。

方差分析能夠解決多個(gè)均值是否相等的檢驗(yàn)問(wèn)題。

方差分析是要檢驗(yàn)各個(gè)水平的均值是否相等,采用的方法是比較各水平的方差。

如研究不同的銷(xiāo)售點(diǎn)(假設(shè)為5個(gè))對(duì)銷(xiāo)售量是否有有影響,可以收集不同銷(xiāo)售點(diǎn)若干天的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行研究,則實(shí)質(zhì)上是看這些銷(xiāo)售點(diǎn)在這些天中的平均銷(xiāo)售量 是否相同(或由顯著差異)。

所要檢驗(yàn)的對(duì)象稱為因素或因子,也稱為自變量。如例子中的銷(xiāo)售點(diǎn)就是因素。

因素的不同表現(xiàn)稱為水平或處理 。如例子中研究的是5個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn),則共有5個(gè)水平。

每個(gè)因素水平下得到的樣本數(shù)值稱為觀測(cè)值 ,也稱為因變量或響應(yīng)變量。

如果研究中只考慮一個(gè)因素的話,稱之為單因素方差分析;如果考慮兩個(gè)因素的話,稱為雙因素方差分析;雙因素方差分析中如果不考慮兩個(gè)因素的交互作用對(duì)因變量的影響的話,稱之為無(wú)交互作用的雙因素方差分析,否則稱之為有交互作用的雙因素方差分析

方差分析的分類(lèi)

2、方差分析的原假設(shè)與備擇假設(shè)

原假設(shè):

H0: μ1= μ2 = μ3 = μ4 = ...... = μn

備擇假設(shè):

H1:均值不全相等。

3、方差分析運(yùn)用的前提條件

(1)各樣本是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本——獨(dú)立性;

(2)各組的方差相同——方差齊性;

(3)各樣本來(lái)自正態(tài)分布——正態(tài)性。

4、單因素方差分析問(wèn)題原型

研究?jī)H涉及到一個(gè)因素。如例子中的研究?jī)H考慮銷(xiāo)售點(diǎn)一個(gè)因素。

(1)問(wèn)題原型

設(shè)因素A有r個(gè)水平A1,A2,...,Ar,每個(gè)水平Ai進(jìn)行ni次獨(dú)立觀測(cè),將水平Ai下的試驗(yàn)結(jié)果xi1,xi2,...,xini看成來(lái)自第i個(gè)正態(tài)總體Xi~N(μi,σ)的樣本觀測(cè)值,其中μi,σ均未知,并且每個(gè)總體Xi都相互獨(dú)立。考慮線性統(tǒng)計(jì)模型:

xij = u i + εij

εij~N(0,σ2) 且相互獨(dú)立

其中,μi為第i個(gè)總體的均值,ε為相應(yīng)的試驗(yàn)誤差。

(2)單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

(3)單因素方差分析表

單因素方差分析表

(4)判斷與結(jié)論

在假設(shè)條件成立時(shí),F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量服從第一自由度為r-1、第二自由度為n-r的 F分布。

若F ≥ Fα,則拒絕原假設(shè),表明均值之間的差異顯著,因素A對(duì)觀察值有顯著影響;

若F < Fα,則不能拒絕原假設(shè),表明均值之間的差異不顯著,因素A對(duì)觀察值沒(méi)有顯著影響。

5、R中進(jìn)行方差分析的函數(shù)

在R中可以使用aov()函數(shù)和summary()函數(shù)共同完成方差分析的計(jì)算。aov()函數(shù)的格式如下:

aov(formula, data = NULL, projections = FALSE, qr = TRUE, contrasts = NULL, ...)

其中,formula是個(gè)字符串,表示方差分析的公式,如形如X~A或X~A+B或X~X+B+A:B;

data是數(shù)據(jù)框,描述數(shù)據(jù)的響應(yīng)變量、因素和相應(yīng)水平的對(duì)應(yīng)關(guān)系,默認(rèn)值為NULL,當(dāng)數(shù)據(jù)直接由X和A給出時(shí),不需要此參數(shù)。

6、R語(yǔ)言進(jìn)行單因素方差分析舉例說(shuō)明

新實(shí)驗(yàn)樓裝修,小明需要買(mǎi)一批燈泡。市場(chǎng)上的燈泡種類(lèi)繁多,而且價(jià)格也相差較大。小明選擇了4種品牌的燈泡請(qǐng)人做了測(cè)試。測(cè)試結(jié)果如下表。你認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)哪種品牌較好呢?

 

品牌 使用壽命
A1 1600 1610 1650 1680 1700 1700 1780  
A2 1500 1640 1400 1700 1750      
A3 1640 1550 1600 1620 1640 1600 1740 1800
A4 1510 1520 1530 1570 1640 1600    

 當(dāng)然選擇平均壽命要大一些的,那么這些水平均值有區(qū)別嗎?如何進(jìn)行分析:方差分析。

在R中編寫(xiě)程序如下:

#單因素方法分析
#定義數(shù)據(jù)燈泡壽命向量
X<-c(1600,1610,1650,1680,1700,1700,1780,
1500,1640,1400,1700,1750,
1640,1550,1600,1620,1640,1600,1740,1800,
1510,1520,1530,1570,1640,1600)
#定義一個(gè)因子用于指定每個(gè)數(shù)據(jù)所屬的組
A<-factor(rep(1:4,c(7,5,8,6))) #使用重復(fù)函數(shù)進(jìn)行定義
#定義數(shù)據(jù)框
lamp<-data.frame(X,A)

#進(jìn)行方差分析
lampAov<-aov(X~A,projections=F)

#提取方差分析表
sm<-summary(lampAov)

print(sm) #輸出方差分析信息

#數(shù)據(jù)滿足正態(tài)性要求嗎?
#對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性符合性檢驗(yàn)(Shapiro-Wilk)
#該檢驗(yàn)中計(jì)算的W值越接近1,正態(tài)性越好

#對(duì)數(shù)據(jù)框中的X列值因素水平為1的進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)
shapiro.test(lamp$X[lamp$A==1])

#對(duì)數(shù)據(jù)框中的X列值因素水平為2的進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)
shapiro.test(lamp$X[lamp$A==2])

#對(duì)數(shù)據(jù)框中的X列值因素水平為3的進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)
shapiro.test(lamp$X[lamp$A==3])

#對(duì)數(shù)據(jù)框中的X列值因素水平為4的進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)
shapiro.test(lamp$X[lamp$A==4])

#當(dāng)水平數(shù)較多時(shí),運(yùn)用上面的寫(xiě)法比較麻煩,可以借助with()函數(shù)和tapply()函數(shù)
with(lamp,tapply(X,A,shapiro.test))

#方差齊性檢驗(yàn)
bartlett.test(X~A,data=lamp)

在R中的運(yùn)行結(jié)果如下:

R中進(jìn)行單因素方差分析的結(jié)果

從結(jié)果中看,P值>0.05,則在0.05的顯著性水平下,沒(méi)有充分理由拒絕原假設(shè),也就是說(shuō)4種品牌的壽命沒(méi)有顯著性區(qū)別,則在購(gòu)買(mǎi)時(shí),挑揀便宜的進(jìn)行購(gòu)買(mǎi)就行了。

正態(tài)性檢驗(yàn)結(jié)果如下:

R語(yǔ)言進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)

從檢驗(yàn)結(jié)果來(lái)看,各組數(shù)據(jù)都符合正態(tài)性。

方差齊性檢驗(yàn)結(jié)果:

R語(yǔ)言進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)

由檢驗(yàn)結(jié)果的p值=0.1215 > 0.05可知,在0.05的置信水平下,沒(méi)有充分理由拒絕原假設(shè)(每組的方差相等),則可以認(rèn)為每組的方差相等,即滿足方差齊性。

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