本文實(shí)例講述了Python素?cái)?shù)檢測(cè)的方法。分享給大家供大家參考。具體如下：

因子檢測(cè)：

檢測(cè)因子，時(shí)間復(fù)雜度O(n^(1/2))

def is_prime(n):  if n < 2:    return False  for i in xrange(2, int(n**0.5+1)):    if n%i == 0:      return False  return True

費(fèi)馬小定理：

如果n是一個(gè)素?cái)?shù)，a是小于n的任意正整數(shù)，那么a的n次方與a模n同余

實(shí)現(xiàn)方法：

選擇一個(gè)底數(shù)（例如2），對(duì)于大整數(shù)p，如果2^(p-1)與1不是模p同余數(shù)，則p一定不是素?cái)?shù)；否則，則p很可能是一個(gè)素?cái)?shù)
2**(n-1)%n 不是一個(gè)容易計(jì)算的數(shù)字

模運(yùn)算規(guī)則：

(a^b) % p = ((a % p)^b) % p(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

計(jì)算X^N(% P)

可以
如果N是偶數(shù)，那么X^N =（X*X）^[N/2]；
如果N是奇數(shù)，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；

def xn_mod_p(x, n, p):  if n == 0:    return 1  res = xn_mod_p((x*x)%p, n>>1, p)  if n&1 != 0:    res = (res*x)%p  return res

也可以歸納為下面的算法 兩個(gè)函數(shù)是一樣的

def xn_mod_p2(x, n, p):  res = 1  n_bin = bin(n)[2:]  for i in range(0, len(n_bin)):    res = res**2 % p    if n_bin[i] == '1':      res = res * x % p  return res

有了模冪運(yùn)算快速處理就可以實(shí)現(xiàn)費(fèi)馬檢測(cè)

費(fèi)馬測(cè)試當(dāng)給出否定結(jié)論時(shí)，是準(zhǔn)確的，但是肯定結(jié)論有可能是錯(cuò)誤的，對(duì)于大整數(shù)的效率很高，并且誤判率隨著整數(shù)的增大而降低

def fermat_test_prime(n):  if n == 1:    return False  if n == 2:    return True  res = xn_mod_p(2, n-1, n)  return res == 1

MILLER-RABIN檢測(cè)

Miller-Rabin檢測(cè)是目前應(yīng)用比較廣泛的一種

二次探測(cè)定理:如果p是一個(gè)素?cái)?shù),且0<x<p,則方程x^2%p=1的解為:x=1或x=p-1
費(fèi)馬小定理：a^(p-1) ≡ 1(mod p)

這就是Miller-Rabin素性測(cè)試的方法。不斷地提取指數(shù)n-1中的因子2，把n-1表示成d*2^r（其中d是一個(gè)奇數(shù)）。那么我們需要計(jì)算的東西就變成了a的d*2^r次方除以n的余數(shù)。于是，a^(d * 2^(r-1))要么等于1，要么等于n-1。如果a^(d * 2^(r-1))等于1，定理繼續(xù)適用于a^(d * 2^(r-2))，這樣不斷開方開下去，直到對(duì)于某個(gè)i滿足a^(d * 2^i) mod n = n-1或者最后指數(shù)中的2用完了得到的a^d mod n=1或n-1。這樣，F(xiàn)ermat小定理加強(qiáng)為如下形式：

盡可能提取因子2，把n-1表示成d*2^r，如果n是一個(gè)素?cái)?shù)，那么或者a^d mod n=1，或者存在某個(gè)i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 ( 0<=i<r ) （注意i可以等于0，這就把a(bǔ)^d mod n=n-1的情況統(tǒng)一到后面去了）

定理:若n是素?cái)?shù),a是小于n的正整數(shù),則n對(duì)以a為基的Miller測(cè)試,結(jié)果為真.
Miller測(cè)試進(jìn)行k次,將合數(shù)當(dāng)成素?cái)?shù)處理的錯(cuò)誤概率最多不會(huì)超過4^(-k)

def miller_rabin_witness(a, p):  if p == 1:    return False  if p == 2:    return True  #p-1 = u*2^t 求解 u, t  n = p - 1  t = int(math.floor(math.log(n, 2)))  u = 1  while t > 0:    u = n / 2**t    if n % 2**t == 0 and u % 2 == 1:      break    t = t - 1  b1 = b2 = xn_mod_p2(a, u, p)  for i in range(1, t + 1):    b2 = b1**2 % p    if b2 == 1 and b1 != 1 and b1 != (p - 1):      return False    b1 = b2  if b1 != 1:    return False  return Truedef prime_test_miller_rabin(p, k):  while k > 0:    a = randint(1, p - 1)    if not miller_rabin_witness(a, p):      return False    k = k - 1  return True