理論

傅立葉變換用于分析各種濾波器的頻率特性，對于圖像，2D離散傅里葉變換（DFT）用于找到頻域.快速傅里葉變換（FFT）的快速算法用于計算DFT.

于一個正弦信號，x(t)=Asin(2πft)，我們可以說 f 是信號的頻率，如果它的頻率域被接受，我們可以看到 f 的峰值.如果信號被采樣來形成一個離散信號，我們得到相同的頻率域，但是在[−π,π] or [0,2π]范圍內是周期性的 (or [0,N] for N-point DFT).

可以將圖像視為在兩個方向上采樣的信號.因此，在X和Y方向上進行傅里葉變換可以得到圖像的頻率表示.

更直觀的是，對于正弦信號，如果振幅在短時間內變化得非常快，你可以說它是一個高頻信號.如果它變化緩慢，它是一個低頻信號,可以把同樣的想法擴展到圖片上,邊和噪聲是圖像中的高頻內容,如果振幅沒有很大的變化，那就是低頻分量.

Numpy中的傅里葉變換

np.fft.fft2()

第一個參數是輸入圖像，它是灰度圖像

第二個參數是可選的，它決定了輸出數組的大小,如果它大于輸入圖像的大小，則輸入圖像在計算FFT之前填充了0.如果它小于輸入圖像，輸入圖像將被裁剪,如果沒有參數傳遞，輸出數組的大小將與輸入相同.

一旦得到結果，零頻率分量（DC分量）將位于左上角。 如果要將其置于中心位置，則需要在兩個方向上將結果移動N2.np.fft.fftshift(),一旦你找到頻率變換，你就能找到大小譜.

代碼:

import cv2import numpy as npfrom matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('img.jpg',0)f = np.fft.fft2(img)fshift = np.fft.fftshift(f)magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()

可以在中心看到更多的白色區域，表示低頻率的內容更多.

現在可以在頻域做一些運算，比如高通濾波和重建圖像也就是找到逆DFT，只需用一個矩形窗口大小的60x60來移除低頻部分，使用np.fft.ifftshift()應用反向移動，使DC組件再次出現在左上角,然后使用np.ifft2()函數找到反FFT,結果將會是一個復數,可以取它的絕對值.

代碼:

import cv2import numpy as npfrom matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('img.jpg',0)f = np.fft.fft2(img)fshift = np.fft.fftshift(f)magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))rows, cols = img.shapecrow,ccol = int(rows/2) , int(cols/2)fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)img_back = np.abs(img_back)plt.subplot(221),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(222),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(223),plt.imshow(img_back)plt.title('Result in JET'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(224),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')plt.title('Image after HPF'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()