1. 概述
同splay tree一樣，treap也是一個平衡二叉樹，不過Treap會記錄一個額外的數據，即優先級。Treap在以關鍵碼構成二叉搜索樹的同時，還按優先級來滿足堆的性質。因而，Treap=tree+heap。這里需要注意的是，Treap并不是二叉堆，二叉堆必須是完全二叉樹，而Treap可以并不一定是。
2. Treap基本操作
為了使Treap 中的節點同時滿足BST性質和最小堆性質，不可避免地要對其結構進行調整，調整方式被稱為旋轉。在維護Treap 的過程中，只有兩種旋轉，分別是左旋轉(簡稱左旋)和右旋轉(簡稱右旋)。
左旋一個子樹，會把它的根節點旋轉到根的左子樹位置，同時根節點的右子節點成為子樹的根；右旋一個子樹，會把它的根節點旋轉到根的右子樹位置，同時根節點的左子節點成為子樹的根。
struct Treap_Node { Treap_Node *left,*right; //節點的左右子樹的指針 int value,fix; //節點的值和優先級 }; void Treap_Left_Rotate(Treap_Node *&a) //左旋 節點指針一定要傳遞引用 { Treap_Node *b=a->right; a->right=b->left; b->left=a; a=b; } void Treap_Right_Rotate(Treap_Node *&a) //右旋 節點指針一定要傳遞引用 { Treap_Node *b=a->left; a->left=b->right; b->right=a; a=b; }3. Treap的操作
同其他樹形結構一樣，treap的基本操作有：查找，插入，刪除等。
3.1 查找
同其他二叉樹一樣，treap的查找過程就是二分查找的過程，復雜度為O(lg n)。
3.2 插入
在Treap 中插入元素，與在BST 中插入方法相似。首先找到合適的插入位置，然后建立新的節點，存儲元素。但是要注意新的節點會有一個優先級屬性，該值可能會破壞堆序，因此我們要根據需要進行恰當的旋轉。具體方法如下：
1. 從根節點開始插入；
2. 如果要插入的值小于等于當前節點的值，在當前節點的左子樹中插入，插入后如果左子節點的優先級小于當前節點的優先級，對當前節點進行右旋；
3. 如果要插入的值大于當前節點的值，在當前節點的右子樹中插入，插入后如果右子節點的優先級小于當前節點的優先級，對當前節點進行左旋；
4. 如果當前節點為空節點，在此建立新的節點，該節點的值為要插入的值，左右子樹為空，插入成功。
Treap_Node *root; void Treap_Insert(Treap_Node *&P,int value) //節點指針一定要傳遞引用 { if (!P) //找到位置，建立節點 { P=new Treap_Node; P->value=value; P->fix=rand();//生成隨機的修正值 } else if (value <= P->value) { Treap_Insert(P->left,r); if (P->left->fix < P->fix) Treap_Right_Rotate(P);//左子節點修正值小于當前節點修正值，右旋當前節點 } else { Treap_Insert(P->right,r); if (P->right->fix < P->fix) Treap_Left_Rotate(P);//右子節點修正值小于當前節點修正值，左旋當前節點 } }3.3 刪除
與BST 一樣，在Treap 中刪除元素要考慮多種情況。我們可以按照在BST 中刪除元素同樣的方法來刪除Treap 中的元素，即用它的后繼(或前驅)節點的值代替它，然后刪除它的后繼(或前驅)節點。
上述方法期望時間復雜度為O(logN)，但是這種方法并沒有充分利用Treap 已有的隨機性質，而是重新得隨機選取代替節點。我們給出一種更為通用的刪除方法，這種方法是基于旋轉調整的。首先要在Treap 樹中找到待刪除節點的位置，然后分情況討論：
情況一，該節點為葉節點或鏈節點，則該節點是可以直接刪除的節點。若該節點有非空子節點，用非空子節點代替該節點的，否則用空節點代替該節點，然后刪除該節點。
情況二，該節點有兩個非空子節點。我們的策略是通過旋轉，使該節點變為可以直接刪除的節點。如果該節點的左子節點的優先級小于右子節點的優先級，右旋該節點，使該節點降為右子樹的根節點，然后訪問右子樹的根節點，繼續討論；反之，左旋該節點，使該節點降為左子樹的根節點，然后訪問左子樹的根節點，這樣繼續下去，直到變成可以直接刪除的節點。
BST_Node *root; void Treap_Delete(Treap_Node *&P,int *value) //節點指針要傳遞引用 { if (value==P->value) //找到要刪除的節點 對其刪除 { if (!P->right || !P->left) //情況一，該節點可以直接被刪除 { Treap_Node *t=P; if (!P->right) P=P->left; //用左子節點代替它 else P=P->right; //用右子節點代替它 delete t; //刪除該節點 } else //情況二 { if (P->left->fix < P->right->fix) //左子節點修正值較小，右旋 { Treap_Right_Rotate(P); Treap_Delete(P->right,r); } else //左子節點修正值較小，左旋 { Treap_Left_Rotate(P); Treap_Delete(P->left,r); } } } else if (value < P->value) Treap_Delete(P->left,r); //在左子樹查找要刪除的節點 else Treap_Delete(P->right,r); //在右子樹查找要刪除的節點 }4. Treap應用
Treap可以解決splay tree可以解決的所有問題，具體參見另一篇文章：《數據結構之伸展樹詳解》
可以這樣定義結構體：
struct Treap_Node { Treap_Node *left,*right; //節點的左右子樹的指針 int value,fix,weight,size; //節點的值，優先級，重復計數（記錄相同節點個數，節省空間），子樹大小 inline int lsize(){ return left ?left->size ?0; } //返回左子樹的節點個數 inline int rsize(){ return right?right->size?0; } //返回右子樹的節點個數 };5. 總結
Treap 作為一種簡潔高效的有序數據結構，在計算機科學和技術應用中有著重要的地位。它可以用來實現集合、多重集合、字典等容器型數據結構，也可以用來設計動態統計數據結構。
6. 參考資料
（1）Treap：http://www.nocow.cn/index.php/Treap
（2）隨機平衡二叉查找樹Treap 的分析與應用：http://www.byvoid.com/blog/wp-content/uploads/2010/12/treap-analysis-and-application.pdf
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