數據結構之AVL樹詳解

2020-01-26 15:22:00

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1. 概述

AVL樹是最早提出的自平衡二叉樹，在AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差別為一，所以它也被稱為高度平衡樹。AVL樹得名于它的發明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL樹種查找、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O（log n），增加和刪除可能需要通過一次或多次樹旋轉來重新平衡這個樹。本文介紹了AVL樹的設計思想和基本操作。

2. 基本術語

有四種種情況可能導致二叉查找樹不平衡，分別為：
（1）LL：插入一個新節點到根節點的左子樹（Left）的左子樹（Left），導致根節點的平衡因子由1變為2
（2）RR：插入一個新節點到根節點的右子樹（Right）的右子樹（Right），導致根節點的平衡因子由-1變為-2
（3）LR：插入一個新節點到根節點的左子樹（Left）的右子樹（Right），導致根節點的平衡因子由1變為2
（4）RL：插入一個新節點到根節點的右子樹（Right）的左子樹（Left），導致根節點的平衡因子由-1變為-2
針對四種種情況可能導致的不平衡，可以通過旋轉使之變平衡。有兩種基本的旋轉：
（1）左旋轉：將根節點旋轉到（根節點的）右孩子的左孩子位置
（2）右旋轉：將根節點旋轉到（根節點的）左孩子的右孩子位置

3. AVL樹的旋轉操作

AVL樹的基本操作是旋轉，有四種旋轉方式，分別為：左旋轉，右旋轉，左右旋轉（先左后右），右左旋轉（先右后左），實際上，這四種旋轉操作兩兩對稱，因而也可以說成兩類旋轉操作。
基本的數據結構：

復制代碼代碼如下:

typedef struct Node* Tree;
typedef struct Node* Node_t;
typedef Type int;
 
struct Node{
 Node_t left;
 Node_t right;
 int height;
 Type data;
};
int Height(Node_t node) {
 return node->height;
}

3.1 LL

LL情況需要右旋解決，如下圖所示：

代碼為：

復制代碼代碼如下:

Node_t RightRotate(Node_t a) {
 b = a->left;
 a->left = b->right;
 b->right = a;
 a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
 b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
 return b;
}

3.2 RR
RR情況需要左旋解決，如下圖所示：

代碼為：

復制代碼代碼如下:

Node_t LeftRotate(Node_t a) {
 b = a->right;
 a->right = b->left;
 b->left = a;
 a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right));
 b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right));
 return b;
}

3.3 LR

LR情況需要左右（先B左旋轉，后A右旋轉）旋解決，如下圖所示：

代碼為：

復制代碼代碼如下:

Node_t LeftRightRotate(Node_t a) {
 a->left = LeftRotate(a->left);
 return RightRotate(a);
}

3.4 RL

RL情況需要右左旋解決（先B右旋轉，后A左旋轉），如下圖所示：

代碼為：

復制代碼代碼如下:

Node_t RightLeftRotate(Node_t a) {
 a->right = RightRotate(a->right);
 return LeftRotate(a);
}

4. AVL數的插入和刪除操作

(1) 插入操作：實際上就是在不同情況下采用不同的旋轉方式調整整棵樹，具體代碼如下：

復制代碼代碼如下:

Node_t Insert(Type x, Tree t) {
 if(t == NULL) {
   t = NewNode(x);
 } else if(x < t->data) {
   t->left = Insert(t->left);
   if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) {
    if(x < t->left->data) {
     t = RightRotate(t);
    } else {
     t = LeftRightRotate(t);
    }
  }
 } else {
   t->right = Insert(t->right);
   if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) {
    if(x > t->right->data) {
     t = LeftRotate(t);
    } else {
     t = RightLeftRotate(t);
    }
  }
 }
 t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
 return t;
}

(2) 刪除操作：首先定位要刪除的節點，然后用該節點的右孩子的最左孩子替換該節點，并重新調整以該節點為根的子樹為AVL樹，具體調整方法跟插入數據類似，代碼如下：

復制代碼代碼如下:

Node_t Delete(Type x, Tree t) {
 if(t == NULL) return NULL;
 if(t->data == x) {
  if(t->right == NULL) {
   Node_t temp = t;
   t = t->left;
   free(temp);
  } else {
   Node_t head = t->right;
   while(head->left) {
    head = head->left;
   }
   t->data = head->data; //just copy data
   t->right = Delete(t->data, t->right);
   t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1;
  }
  return t;
 } else if(t->data < x) {
  Delete(x, t->right);
  if(t->right) Rotate(x, t->right);
 } else {
  Delete(x, t->left);
  if(t->left) Rotate(x, t->left);
 }
 if(t) Rotate(x, t);
}