e是一個(gè)重要的常數(shù)，但是它的直觀含義卻不像π那么明了。我們都知道，圓的周長(zhǎng)與直徑之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)被稱為圓周率，記作π=3.14159…，可是如果我問你，e代表了什么，你能回答嗎？

不妨先來看看 維基百科 是怎么說的：

“e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。”

但是，你去看“ 自然對(duì)數(shù) ”這個(gè)條目，得到的解釋卻是：

“自然對(duì)數(shù)是以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，e是一個(gè)無理數(shù)，約等于2.718281828。”

這構(gòu)成了循環(huán)定義，完全沒有說e是什么。在這種情況下，數(shù)學(xué)家選擇這樣一個(gè)無理數(shù)作為底數(shù)，還號(hào)稱這種對(duì)數(shù)很"自然"，這難道不是一件很奇怪的事情嗎？

e是增長(zhǎng)極限

到底什么是e？簡(jiǎn)單說來，e就是 增長(zhǎng)的極限 。

下面這個(gè)例子就是對(duì)e直觀含義的極好詮釋:

某種類的一群?jiǎn)渭?xì)胞生物每24小時(shí)全部分裂一次。在不考慮死亡與變異等情況下，那么很顯然，這群?jiǎn)渭?xì)胞生物的總數(shù)量每天都會(huì)增加一倍。據(jù)此我們可以寫出它的增量公式：

growth= 2 ^x x表示天數(shù)

這個(gè)式子可以改寫成如下的樣子：

growth= (1+100%) ^x 其中，1表示原有數(shù)量，100%表示單位時(shí)間內(nèi)（24小時(shí)）的增長(zhǎng)率。

根據(jù)細(xì)胞生物學(xué)，每過12個(gè)小時(shí)，也就是分裂進(jìn)行到一半的時(shí)候，平均會(huì)新產(chǎn)生一半原數(shù)量的新細(xì)胞，新產(chǎn)生的細(xì)胞在之后的12小時(shí)內(nèi)已經(jīng)在分裂了。

因此一天24個(gè)小時(shí)可以分成兩個(gè)階段，每一個(gè)階段的細(xì)胞數(shù)量都在前一個(gè)階段的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)50%：

即在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)，這些細(xì)胞的數(shù)量一共可以增至為原數(shù)量的2.25倍。

倘若這種細(xì)胞每過8小時(shí)就可以產(chǎn)生平均1/3的新細(xì)胞，新生細(xì)胞立即具備獨(dú)立分裂的能力，那就可以將1天分成3個(gè)階段，在一天內(nèi)時(shí)間細(xì)胞的總數(shù)會(huì)增至為：

即最后細(xì)胞數(shù)擴(kuò)大為2.37倍。

實(shí)際上，這種分裂現(xiàn)象是不間斷、連續(xù)的，每分每秒產(chǎn)生的新細(xì)胞，都會(huì)立即和母體一樣繼續(xù)分裂，一個(gè)單位時(shí)間(24小時(shí))最多可以得到多少個(gè)細(xì)胞呢？答案是：

當(dāng)增長(zhǎng)率為100%保持不變時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)細(xì)胞種群最多只能擴(kuò)大2.71828倍。 數(shù)學(xué)家把這個(gè)數(shù)就稱為e，它的含義是單位時(shí)間內(nèi)，持續(xù)的翻倍增長(zhǎng)所能達(dá)到的極限值 。

這個(gè)值是自然增長(zhǎng)的極限，是“自然律”的精髓所在，因此以e為底的對(duì)數(shù)，就叫做自然對(duì)數(shù)。

你不會(huì)自成“大款”——到e為止

有了這個(gè)值以后，計(jì)算銀行的復(fù)利就非常容易。

假定有一家銀行，每年的復(fù)利是100%，請(qǐng)問存入100元，一年后可以拿多少錢？

答案是：

但是事實(shí)上，存儲(chǔ)利息沒有這么高，如果復(fù)利率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少錢呢：

我們知道，在100%利息率的情況下，n=1000時(shí)，下式的值非常接近e：

為了便于思考，取n等于50：

當(dāng)利息率是5%時(shí)，存款增長(zhǎng)率就相當(dāng)于e的20分之一次方：

1/20正好等于5%，所以我們可以把上式改寫成：

rate表示利率。

再考慮時(shí)間因素，如果存款年限t年，那么存款最終增長(zhǎng)率為：

這說明e可以用于任何連續(xù)不斷的復(fù)合式增長(zhǎng)率的計(jì)算，而上式也是這個(gè)增長(zhǎng)率的通用計(jì)算公式。

帶著這個(gè)結(jié)論再回到上面的例子。如果銀行的利息率是5%的復(fù)利，求解100元存款翻倍需要多少時(shí)間就等價(jià)于解下面的方程：

計(jì)算結(jié)果得13.86年：

可以看到：用72除以增長(zhǎng)率就是翻倍的大致時(shí)間。這正是經(jīng)濟(jì)學(xué)上著名的72法則。