紅黑樹的性質(zhì)

一棵滿足以下性質(zhì)的二叉搜索樹是一棵紅黑樹

1. 每個結(jié)點或是黑色或是紅色。
2. 根結(jié)點是黑色的。
3. 每個葉結(jié)點(NIL)是黑色的。
4. 如果一個結(jié)點是紅色的，則它的兩個子結(jié)點都是黑色的。
5. 對每個結(jié)點，從該結(jié)點到其所有后代葉結(jié)點的簡單路徑上，均包含相同數(shù)目的黑色結(jié)點。

性質(zhì)1和性質(zhì)2，不用做過多解釋。

性質(zhì)3，每個葉結(jié)點(NIL)是黑色的。這里的葉結(jié)點并不是指上圖中結(jié)點1,5,8,15，而是指下圖中值為null的結(jié)點，它們的顏色為黑色，且是它們父結(jié)點的子結(jié)點。

性質(zhì)4，如果一個結(jié)點是紅色的(圖中用白色代替紅色)，則它的兩個子結(jié)點都是黑色的，例如結(jié)點2,5,8,15。但是，如果某結(jié)點的兩個子結(jié)點都是黑色的，該結(jié)點未必是紅色的，例如結(jié)點1。

性質(zhì)5，對每個結(jié)點，從該結(jié)點到其所有后代葉結(jié)點的簡單路徑上，均包含相同數(shù)目的黑色結(jié)點。例如，從結(jié)點2到其所有后代葉結(jié)點的簡單路徑上，黑色結(jié)點的數(shù)量都為2；從根結(jié)點11到其所有后代葉結(jié)點的簡單路徑上，黑色結(jié)點的數(shù)量都為3。

這樣的一棵樹有什么特點呢？

通過對任何一條從根到葉結(jié)點的簡單路徑上各個結(jié)點的顏色進行約束，紅黑樹確保沒有一條路徑會比其他路徑長出2倍，因為是近似于平衡的。――《算法導(dǎo)論》

由于性質(zhì)4，紅黑樹中不會出現(xiàn)兩個紅色結(jié)點相鄰的情形。樹中最短的可能出現(xiàn)的路徑是都是黑色結(jié)點的路徑，樹中最長的可能出現(xiàn)的路徑是紅色結(jié)點和黑色結(jié)點交替的路徑。再結(jié)合性質(zhì)5，每條路徑上均包含相同數(shù)目的黑色結(jié)點，所以紅黑樹確保沒有一條路徑會比其他路徑長出2倍。

紅黑樹的插入

首先以二叉搜索樹的方式插入結(jié)點，并將其著為紅色。如果著為黑色，則會違背性質(zhì)5，不便調(diào)整；如果著為紅色，可能會違背性質(zhì)2或性質(zhì)4，可以通過相對簡單的操作，使其恢復(fù)紅黑樹的性質(zhì)。

一個結(jié)點以二叉搜索樹的方式被插入后，可能出現(xiàn)以下幾種情況：

情形1

插入結(jié)點后，無父結(jié)點，結(jié)點插入成為根結(jié)點，違背性質(zhì)2，將結(jié)點調(diào)整為黑色，完成插入。

情形2

插入結(jié)點后，其父結(jié)點為黑色，沒有違背任何性質(zhì)，不用調(diào)整，完成插入。例如下圖中插入結(jié)點13。

情形3

插入結(jié)點后，其父結(jié)點為紅色，違背了性質(zhì)4，需要采取一系列的調(diào)整。例如下圖中插入結(jié)點4。

那么一系列的調(diào)整是什么呢？

如果插入結(jié)點node的父結(jié)點father為紅色，則結(jié)點father必然存在黑色的父結(jié)點grandfather，因為如果結(jié)點father不存在父結(jié)點的話，就是根結(jié)點，而根結(jié)點是黑色的。那么結(jié)點grandfather的另一個子結(jié)點，我們可以稱之為結(jié)點uncle，即結(jié)點father的兄弟結(jié)點。結(jié)點uncle可能為黑色，也可能為紅色。

先從最簡單的情形分析，因為復(fù)雜的情形可以轉(zhuǎn)化為簡單的情形，簡單的情形就是結(jié)點uncle為黑色的情形。

情形3.1

如上圖(a)中，情形是這樣的，node 為紅，father 為紅，grandfather 和 uncle 為黑，α，β，θ，ω，η 都是結(jié)點對應(yīng)的子樹。假設(shè)整棵二叉搜索樹中，只有node和father因違背性質(zhì)4而無法成為正常的紅黑樹，此時將圖(a)調(diào)整成圖(b)，則可以恢復(fù)成正常的紅黑樹。整個調(diào)整過程中實際分為兩步，旋轉(zhuǎn)和變色。

什么是旋轉(zhuǎn)？

如上圖(c)是一棵二叉搜索樹的一部分，其中 x, y 是結(jié)點，α，β，θ 是對應(yīng)結(jié)點的子樹。由圖可知，α < x < β < y < θ ，即 α子樹中的所有結(jié)點都小于x，結(jié)點 x都小于 β子樹中的所有結(jié)點，β子樹中的所有結(jié)點的值都小于結(jié)點 y 的值，結(jié)點 y 的值都小于 θ子樹中的所有結(jié)點。在二叉搜索樹中，如果結(jié)點y的值比結(jié)點x的值大，那么結(jié)點x在結(jié)點y的左子樹中，如圖(c)；或者結(jié)點y在結(jié)點x的右子樹中，如圖(d)。故 α < x < β < y < θ ，也可以用圖(d)的結(jié)構(gòu)來表現(xiàn)。這就是旋轉(zhuǎn)，它不會破壞二叉搜索樹的性質(zhì)。

node 為紅，father 為紅，grandfather 和 uncle 為黑的具體情形一

圖(a)中，node 為 father 的左子結(jié)點， father 為 grand 的左子結(jié)點，node < father < θ < grand < uncle。這種情形中 father < grand，即可以表現(xiàn)為 father 是 grand 的左子樹，也可以表現(xiàn)為 grand 是 father 的右子樹，故將圖(a)中 father 和 grand 旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)雖然不會破壞二叉搜索樹的性質(zhì)，但是旋轉(zhuǎn)之后，會破壞紅黑樹的性質(zhì)，所以還需要調(diào)整結(jié)點的顏色。

變色

所以圖(a)旋轉(zhuǎn)過后，還要將 grand 變?yōu)榧t色，father 變?yōu)楹谏兂蓤D(b)，完成插入。

node 為紅，father 為紅，grandfather 和 uncle 為黑的具體情形二

node 為 father 的右子結(jié)點， father 為 grand 的右子結(jié)點，如下圖(e)，就是具體情形一的翻轉(zhuǎn)。

即，uncle < grand < θ < father < node ，將圖(e)中 father 和 grand 旋轉(zhuǎn)，變色后，變成圖(f)，完成插入。

node 為紅，father 為紅，grandfather 和 uncle 為黑的具體情形三

node 為 father 的右子結(jié)點， father 為 grand 的左子結(jié)點，如下圖(m)。

將圖(m)中 node 和 father 旋轉(zhuǎn)后，變成圖(n)，將father看作新的node，就成為了具體情形一，再次旋轉(zhuǎn)，變色后，完成插入。

node 為紅，father 為紅，grandfather 和 uncle 為黑的具體情形四

node 為 father 的右子結(jié)點， father 為 grand 的左子結(jié)點，如下圖(i)，就是具體情形三的翻轉(zhuǎn)。

將圖(i)中 node 和 father 旋轉(zhuǎn)后，變成圖(j)，將father看作新的node，就成為了具體情形二，再次旋轉(zhuǎn)，變色后，完成插入。

情形3.2

node ，father 和 uncle 為紅，grandfather 為黑。

如上圖(k)，不旋轉(zhuǎn)，而是將grand著紅，father和uncle著黑，同時將grand作為新的node，進行情形的判斷。如果grand作為新的node后，變成了情形2，則插入完成；如果變成了情形3.1，則調(diào)整后，插入完成；如果仍是情形3.2，則繼續(xù)將grand，father和uncle變色，和node結(jié)點上移，如果新的node結(jié)點沒有父節(jié)點了，則變成了情形1，將根結(jié)點著為黑色，那么插入完成。

綜上

代碼

// 結(jié)點function Node(value) { this.value = value this.color = 'red' // 結(jié)點的顏色默認為紅色 this.parent = null this.left = null this.right = null}function RedBlackTree() { this.root = null}RedBlackTree.prototype.insert = function (node) { // 以二叉搜索樹的方式插入結(jié)點 // 如果根結(jié)點不存在，則結(jié)點作為根結(jié)點 // 如果結(jié)點的值小于node，且結(jié)點的右子結(jié)點不存在，跳出循環(huán) // 如果結(jié)點的值大于等于node，且結(jié)點的左子結(jié)點不存在，跳出循環(huán) if (!this.root) { this.root = node } else { let current = this.root while (current[node.value <= current.value ? 'left' : 'right']) {  current = current[node.value <= current.value ? 'left' : 'right'] } current[node.value <= current.value ? 'left' : 'right'] = node node.parent = current } // 判斷情形 this._fixTree(node) return this}RedBlackTree.prototype._fixTree = function (node) { // 當node.parent不存在時，即為情形1，跳出循環(huán) // 當node.parent.color === 'black'時，即為情形2，跳出循環(huán) while (node.parent && node.parent.color !== 'black') { // 情形3 let father = node.parent let grand = father.parent let uncle = grand[grand.left === father ? 'right' : 'left'] if (!uncle || uncle.color === 'black') {  // 葉結(jié)點也是黑色的  // 情形3.1  let directionFromFatherToNode = father.left === node ? 'left' : 'right'  let directionFromGrandToFather = grand.left === father ? 'left' : 'right'  if (directionFromFatherToNode === directionFromGrandToFather) {  // 具體情形一或二  // 旋轉(zhuǎn)  this._rotate(father)  // 變色  father.color = 'black'  grand.color = 'red'  } else {  // 具體情形三或四  // 旋轉(zhuǎn)  this._rotate(node)  this._rotate(node)  // 變色  node.color = 'black'  grand.color = 'red'  }  break // 完成插入，跳出循環(huán) } else {  // 情形3.2  // 變色  grand.color = 'red'  father.color = 'black'  uncle.color = 'black'  // 將grand設(shè)為新的node  node = grand } } if (!node.parent) { // 如果是情形1 node.color = 'black' this.root = node }}RedBlackTree.prototype._rotate = function (node) { // 旋轉(zhuǎn) node 和 node.parent let y = node.parent if (y.right === node) { if (y.parent) {  y.parent[y.parent.left === y ? 'left' : 'right'] = node } node.parent = y.parent if (node.left) {  node.left.parent = y } y.right = node.left node.left = y y.parent = node } else { if (y.parent) {  y.parent[y.parent.left === y ? 'left' : 'right'] = node } node.parent = y.parent if (node.right) {  node.right.parent = y } y.left = node.right node.right = y y.parent = node }}let arr = [11, 2, 14, 1, 7, 15, 5, 8, 4, 16]let tree = new RedBlackTree()arr.forEach(i => tree.insert(new Node(i)))debugger

總結(jié)

以上就是這篇文章的全部內(nèi)容了，希望本文的內(nèi)容對大家的學(xué)習(xí)或者工作具有一定的參考學(xué)習(xí)價值，如果有疑問大家可以留言交流，謝謝大家對武林網(wǎng)的支持。