一、下圖是一張 10 * 10 的數字表格，表格的對角線上是一系列的重復的數字，嘗試心算出表中所有的數字總和。

答案：數字總和是 1000。

像是這樣的問題，我想很多人在直覺上就會想到——找規律，的確，只要找到規律、之后的事情就變得再簡單不過了。

第一種方法：根據正方形的對稱性來計算。

左上角和右下角數字之和為 20，平均數為10（如： 1 + 19， 2 + 18 ， 3 + 17，4 + 16 等等），也就是說表格中的數字

都換成 10 ，其總和也不不變。即數字總和為 10 * 10 *  10 = 1000 。

第二種方法：逐行或逐列來計算。

第一行的數字總和 = 1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = ( 1 + 10) * 10 / 2 = 55 。

第二行的數字總和 = 55 + 10。因為第二行的每一個數字都比第一行大1。

第三行的數字總和 = 55 + 20。

依次類推…

第十行的數字總和 = 55 + 90。

所有數字總和 = 55 + ( 55 + 10 ) + ( 55 + 20 ) + ( 55 + 30 ) + … + ( 55 + 90 ) = 55 * 10 + ( 10 + 90 ) * 9 / 2 = 1000 。

由此可見，簡單的數學求和公式在此卻起到了巨大作用。

其求和公式原型為：

1 + 2 + 3 + … + n - 1 + n = n(n + 1)/2

變形，求前n個正偶數的和：

2 + 4 + 8 + … + 2n = 2(1 + 2 + … + n) = n(n + 1)

變形，求前n個正奇數的和：

1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = (1 + 2 + 3 + … + (2n -1) + 2n ) - (2 + 4 + 6 + … + 2n) = 2n(2n + 1) / 2 - n(n + 1) = n2

另外一個很重要的公式：2個各個次冪之和：

20  +21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1。

二、求任意兩個18 位整數的乘積、其結果末尾有多少個連續的數字0。

注意：求的是結果的末尾有多少個連續的數字0.

我們假設已經計算出兩個數的乘積為 21601..800000000。

結果可以換種表達方式為：21601..8 * 108 

又因為10只能分解為 2 * 5，所以也可以表達為：21601..8 * (2 * 5)8   

所以我們可以利用如下方式來計算結果：

1、將兩個乘數分解質因數(只分解 2 或5)。

2、分別計算質因數 2 和 5 的個數。

3、Min（質因數2的個數，質因數5的個數）結果即為所求。

上面說的是加法和乘法，下面說一個關于取余的。

三、求任意 100位的整數對7取余的結果。

想一想，如果我們用筆去計算該問題，我們會怎么做呢？——除法豎式。

沒錯，我們將用最原始的，小學生都會除法豎式來解決該問題。

方法描述：

先取出100位數的第一位，被7除得余數(余數可能為0)。

用余數和 100位數的第二位，組成一個兩位數或一位數(因為余數可能為0)，然后被7除得余數。

依次類推，最后所得余數即為所求。

好了，好好體味一下數學的魅力吧。歡迎大家給予補充~