一，基本概念

矩陣的快速冪是用來高效地計算矩陣的高次方的。將樸素的o（n）的時間復雜度，降到log（n）。

二，基本的原理

一般一個矩陣的n次方，我們會通過連乘n-1次來得到它的n次冪。

但做下簡單的改進就能減少連乘的次數，方法如下：

把n個矩陣進行兩兩分組，比如：A*A*A*A*A*A  =>  (A*A)*(A*A)*(A*A)

這樣變的好處是，你只需要計算一次A*A，然后將結果(A*A)連乘自己兩次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下發現這次一共乘了3次，少于原來的5次。

其實大家還可以取A^3作為一個基本單位。原理都一樣：利用矩陣乘法的結合律，來減少重復計算的次數。

以上都是取一個具體的數來作為最小單位的長度，這樣做雖然能夠改進效率，但缺陷也是很明顯的，取個極限的例子（可能有點不恰當，但基本能說明問題），當n無窮大的時候，你現在所取的長度其實和1沒什么區別。所以就需要我們找到一種與n增長速度”相適應“的”單位長度“，那這個長度到底怎么去取呢？？？這點是我們要思考的問題。

有了以上的知識，我們現在再來看看，到底怎么迅速地求得矩陣的N次冪。

比如A^19  =>  （A^16）*（A^2）*（A^1），顯然采取這樣的方式計算時因子數將是log(n)級別的(原來的因子數是n)，不僅這樣，因子間也是存在某種聯系的，比如A^4能通過(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通過(A^4)*(A^4)得到，這點也充分利用了現有的結果作為有利條件。下面舉個例子進行說明：

現在要求A^156,而156(10)=10011100(2) 

四，例題

PRoblem of Precision

3125 Sample Output
997841 SourceHDOJ 2008 Summer Exercise（4）- Buffet Dinner Recommendlcy 代碼；
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;const int MOD = 1024;int n;struct mat{    int s[2][2];    mat(int a = 0, int b = 0, int c = 0, int d = 0)    {        s[0][0] = a;        s[0][1] = b;        s[1][0] = c;        s[1][1] = d;    }    mat Operator * (const mat& c)    {        mat ans;        sizeof(ans.s, 0, sizeof(ans.s));        for (int i = 0; i < 2; i++)            for (int j = 0; j < 2; j++)                for (int k = 0; k < 2; k++)                    ans.s[i][j] = (ans.s[i][j] + s[i][k] * c.s[k][j]) % MOD;        return ans;    }} tmp(5, 12, 2, 5);mat pow_mod(int k){    if (k == 1)        return tmp;    mat a = pow_mod(k / 2);    mat ans = a * a;    if (k % 2)        ans = ans * tmp;    return ans;}int main(){    int cas;    scanf("%d", &cas);    while (cas--)    {        scanf("%d", &n);        mat ans = pow_mod(n);        printf("%d/n", (ans.s[0][0] * 2 - 1) % MOD);    }    return 0;}