在有向圖G中，如果兩個(gè)頂點(diǎn)間至少存在一條路徑，稱兩個(gè)頂點(diǎn)強(qiáng)連通(strongly connected)。如果有向圖G的每兩個(gè)頂點(diǎn)都強(qiáng)連通，稱G是一個(gè)強(qiáng)連通圖。非強(qiáng)連通圖有向圖的極大強(qiáng)連通子圖，稱為強(qiáng)連通分量(strongly connected components)。
下圖中，子圖{1,2,3,4}為一個(gè)強(qiáng)連通分量，因?yàn)轫旤c(diǎn)1,2,3,4兩兩可達(dá)。{5},{6}也分別是兩個(gè)強(qiáng)連通分量。
直接根據(jù)定義，用雙向遍歷取交集的方法求強(qiáng)連通分量，時(shí)間復(fù)雜度為O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，兩者的時(shí)間復(fù)雜度都是O(N+M)。本文介紹的是Tarjan算法。
[Tarjan算法]
Tarjan算法是基于對(duì)圖深度優(yōu)先搜索的算法，每個(gè)強(qiáng)連通分量為搜索樹中的一棵子樹。搜索時(shí)，把當(dāng)前搜索樹中未處理的節(jié)點(diǎn)加入一個(gè)堆棧，回溯時(shí)可以判斷棧頂?shù)綏Ｖ械墓?jié)點(diǎn)是否為一個(gè)強(qiáng)連通分量。
定義DFN(u)為節(jié)點(diǎn)u搜索的次序編號(hào)(時(shí)間戳)，Low(u)為u或u的子樹能夠追溯到的最早的棧中節(jié)點(diǎn)的次序號(hào)。由定義可以得出，
Low(u)=Min{ DFN(u), Low(v),(u,v)為樹枝邊，u為v的父節(jié)點(diǎn) DFN(v),(u,v)為指向棧中節(jié)點(diǎn)的后向邊(非橫叉邊)}當(dāng)DFN(u)=Low(u)時(shí)，以u(píng)為根的搜索子樹上所有節(jié)點(diǎn)是一個(gè)強(qiáng)連通分量。
算法偽代碼如下
tarjan(u){ DFN[u]=Low[u]=++Index // 為節(jié)點(diǎn)u設(shè)定次序編號(hào)和Low初值 Stack.push(u) // 將節(jié)點(diǎn)u壓入棧中 for each (u, v) in E // 枚舉每一條邊 if (v is not visted) // 如果節(jié)點(diǎn)v未被訪問過 tarjan(v) // 繼續(xù)向下找 Low[u] = min(Low[u], Low[v]) else if (v in S) // 如果節(jié)點(diǎn)v還在棧內(nèi) Low[u] = min(Low[u], DFN[v]) if (DFN[u] == Low[u]) // 如果節(jié)點(diǎn)u是強(qiáng)連通分量的根 repeat v = S.pop // 將v退棧，為該強(qiáng)連通分量中一個(gè)頂點(diǎn) PRint v until (u== v)}接下來是對(duì)算法流程的演示。
從節(jié)點(diǎn)1開始DFS，把遍歷到的節(jié)點(diǎn)加入棧中。搜索到節(jié)點(diǎn)u=6時(shí)，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個(gè)強(qiáng)連通分量。退棧到u=v為止，{6}為一個(gè)強(qiáng)連通分量。
返回節(jié)點(diǎn)5，發(fā)現(xiàn)DFN[5]=LOW[5]，退棧后{5}為一個(gè)強(qiáng)連通分量。
返回節(jié)點(diǎn)3，繼續(xù)搜索到節(jié)點(diǎn)4，把4加入堆棧。發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)4向節(jié)點(diǎn)1有后向邊，節(jié)點(diǎn)1還在棧中，所以LOW[4]=1。節(jié)點(diǎn)6已經(jīng)出棧，(4,6)是橫叉邊，返回3，(3,4)為樹枝邊，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
繼續(xù)回到節(jié)點(diǎn)1，最后訪問節(jié)點(diǎn)2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，發(fā)現(xiàn)DFN[1]=LOW[1]，把棧中節(jié)點(diǎn)全部取出，組成一個(gè)連通分量{1,3,4,2}。
至此，算法結(jié)束。經(jīng)過該算法，求出了圖中全部的三個(gè)強(qiáng)連通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)行Tarjan算法的過程中，每個(gè)頂點(diǎn)都被訪問了一次，且只進(jìn)出了一次堆棧，每條邊也只被訪問了一次，所以該算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(N+M)。
求有向圖的強(qiáng)連通分量還有一個(gè)強(qiáng)有力的算法，為Kosaraju算法。Kosaraju是基于對(duì)有向圖及其逆圖兩次DFS的方法，其時(shí)間復(fù)雜度也是O(N+M)。與Trajan算法相比，Kosaraju算法可能會(huì)稍微更直觀一些。但是Tarjan只用對(duì)原圖進(jìn)行一次DFS，不用建立逆圖，更簡潔。在實(shí)際的測試中，Tarjan算法的運(yùn)行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，該Tarjan算法與求無向圖的雙連通分量(割點(diǎn)、橋)的Tarjan算法也有著很深的聯(lián)系。學(xué)習(xí)該Tarjan算法，也有助于深入理解求雙連通分量的Tarjan算法，兩者可以類比、組合理解。
求有向圖的強(qiáng)連通分量的Tarjan算法是以其發(fā)明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan還發(fā)明了求雙連通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的離線Tarjan算法，在此對(duì)Tarjan表示崇高的敬意。
附：tarjan算法的C++程序
void tarjan(int i){ int j; DFN[i]=LOW[i]=++Dindex; instack[i]=true; Stap[++Stop]=i; for (edge *e=V[i];e;e=e->next) { j=e->t; if (!DFN[j]) { tarjan(j); if (LOW[j]<LOW[i]) LOW[i]=LOW[j]; } else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i]) LOW[i]=DFN[j]; } if (DFN[i]==LOW[i]) { Bcnt++; do { j=Stap[Stop--]; instack[j]=false; Belong[j]=Bcnt; } while (j!=i); }}void solve(){ int i; Stop=Bcnt=Dindex=0; memset(DFN,0,sizeof(DFN)); for (i=1;i<=N;i++) if (!DFN[i]) tarjan(i);}新聞熱點(diǎn)
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