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如何理解“卷積運(yùn)算”

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卷積這個(gè)東東是“信號(hào)與系統(tǒng)”中論述系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)而提出的。因?yàn)槭菍?duì)模擬信號(hào)論述的，所

以常常帶有繁瑣的算術(shù)推倒，很簡(jiǎn)單的問題的本質(zhì)常常就被一大堆公式淹沒了，那么卷積究竟物理意義

怎么樣呢？

卷積表示為y(n) = x(n)*h(n)

使用離散數(shù)列來(lái)理解卷積會(huì)更形象一點(diǎn)，我們把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 這是系

統(tǒng)響應(yīng)出來(lái)的信號(hào)。

同理，x(n)的對(duì)應(yīng)時(shí)刻的序列為x(0),x(1),x(2)...and so on;

其實(shí)我們?nèi)绻麤]有學(xué)過信號(hào)與系統(tǒng)，就常識(shí)來(lái)講，系統(tǒng)的響應(yīng)不僅與當(dāng)前時(shí)刻系統(tǒng)的輸入有關(guān)，也跟之

前若干時(shí)刻的輸入有關(guān)，因?yàn)槲覀兛梢岳斫鉃檫@是之前時(shí)刻的輸入信號(hào)經(jīng)過一種過程（這種過程可以是

遞減，削弱，或其他）對(duì)現(xiàn)在時(shí)刻系統(tǒng)輸出的影響，那么顯然，我們計(jì)算系統(tǒng)輸出時(shí)就必須考慮現(xiàn)在時(shí)

刻的信號(hào)輸入的響應(yīng)以及之前若干時(shí)刻信號(hào)輸入的響應(yīng)之“殘留”影響的一個(gè)疊加效果。

假設(shè)0時(shí)刻系統(tǒng)響應(yīng)為y(0),若其在1時(shí)刻時(shí)，此種響應(yīng)未改變，則1時(shí)刻的響應(yīng)就變成了y(0)+y(1),叫序

列的累加和（與序列的和不一樣）。但常常系統(tǒng)中不是這樣的，因?yàn)?時(shí)刻的響應(yīng)不太可能在1時(shí)刻仍舊

未變化，那么怎么表述這種變化呢，就通過h(t)這個(gè)響應(yīng)函數(shù)與x(0)相乘來(lái)表述，表述為x(m)×h(m-n)

，具體表達(dá)式不用多管，只要記著有大概這種關(guān)系，引入這個(gè)函數(shù)就能夠表述y(0)在1時(shí)刻究竟削弱了多

少，然后削弱后的值才是y(0)在1時(shí)刻的真實(shí)值，再通過累加和運(yùn)算，才得到真實(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)。

再拓展點(diǎn)，某時(shí)刻的系統(tǒng)響應(yīng)往往不一定是由當(dāng)前時(shí)刻和前一時(shí)刻這兩個(gè)響應(yīng)決定的，也可能是再加上

前前時(shí)刻，前前前時(shí)刻，前前前前時(shí)刻，等等，那么怎么約束這個(gè)范圍呢，就是通過對(duì)h(n)這個(gè)函數(shù)在

表達(dá)式中變化后的h(m-n)中的m的范圍來(lái)約束的。即說白了，就是當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)響應(yīng)與多少個(gè)之前時(shí)刻

的響應(yīng)的“殘留影響”有關(guān)。

當(dāng)考慮這些因素后，就可以描述成一個(gè)系統(tǒng)響應(yīng)了，而這些因素通過一個(gè)表達(dá)式（卷積）即描述出來(lái)不

得不說是數(shù)學(xué)的巧妙和迷人之處了。

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對(duì)于非數(shù)學(xué)系學(xué)生來(lái)說，只要懂怎么用卷積就可以了，研究什么是卷積其實(shí)意義不大,它就是一種微元相

乘累加的極限形式。卷積本身不過就是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算而已。就跟“蝶形運(yùn)算”一樣，怎么證明，這是數(shù)

學(xué)系的人的工作。在信號(hào)與系統(tǒng)里，f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)可用f(t)與其單位沖激響應(yīng)h(t) 的卷積積分求解得，即y(t)

=f(t)*h(t)。學(xué)過信號(hào)與系統(tǒng)的都應(yīng)該知道，時(shí)域的卷積等于頻域的乘積，即有 Y(s)=F(s)×H(s)。

（s=jw，拉氏變換后等到的函數(shù)其實(shí)就是信號(hào)的頻域表達(dá)式）有一點(diǎn)你必須明白，在通信系統(tǒng)里，我們關(guān)心的以及 要研究的是信號(hào)的頻域，不是時(shí)域，原因是因?yàn)樾?/p>

號(hào)的頻率是攜帶有信息的量。所以，我們需要的是Y(s)這個(gè)表達(dá)式，但是實(shí)際上，我們往往不能很容易的得到F(s)和H(s)這兩個(gè)表達(dá)

式，但是能直接的很容易的得到f(t)和h(t)，所以為了找到Y(jié)(s)和y(t)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就要用到卷積運(yùn)算

。復(fù)頻域。s=jw，當(dāng)中的j是復(fù)數(shù)單位，所以使用的是復(fù)頻域。通俗的解釋方法是，因?yàn)橄到y(tǒng)中有電感X=jwL、電容

X=1/jwC，物理意義是，系統(tǒng)H(s)對(duì)不同的頻率分量有不同的衰減，即這種衰減是發(fā)生在頻域的，所以為

了與時(shí)域區(qū)別，引入復(fù)數(shù)的運(yùn)算。但是在復(fù)頻域計(jì)算的形式仍然滿足歐姆定理、KCL、KVL、疊加法。負(fù)的頻率。之所以會(huì)出現(xiàn)負(fù)的頻率，這只是數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果，只存在于數(shù)學(xué)運(yùn)算 中，實(shí)際中不會(huì)有負(fù)的頻率。

卷積的過程就是相當(dāng)于把信號(hào)分解為無(wú)窮多的沖擊信號(hào)，然后進(jìn)行沖擊響應(yīng)的疊加。 有一個(gè)七品縣令，喜歡用打板子來(lái)懲戒那些市井無(wú)賴，而且有個(gè)慣例：如果沒犯大罪，只打一板，釋放

回家，以示愛民如子。

有一個(gè)無(wú)賴，想出人頭地卻沒啥指望，心想：既然揚(yáng)不了善名，出惡名也成啊。怎么出惡名？炒作唄！

怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政長(zhǎng)官——縣令。

無(wú)賴于是光天化日之下，站在縣衙門前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被請(qǐng)進(jìn)大堂挨了一板子，

然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也沒有！第二天如法炮制，全然不顧行政長(zhǎng)管的仁慈和衙

門的體面，第三天、第四天......每天去縣衙門領(lǐng)一個(gè)板子回來(lái)，還喜氣洋洋地，堅(jiān)持一個(gè)月之久！這

無(wú)賴的名氣已經(jīng)和衙門口的臭氣一樣，傳遍八方了！

縣令大人噤著鼻子，呆呆地盯著案子上的驚堂木，擰著眉頭思考一個(gè)問題：這三十個(gè)大板子怎么不好使

捏？......想當(dāng)初，本老爺金榜題名時(shí)，數(shù)學(xué)可是得了滿分，今天好歹要解決這個(gè)問題：

——人（系統(tǒng)?。┌ぐ遄樱}沖！）以后，會(huì)有什么表現(xiàn)（輸出！）？

——費(fèi)話，疼唄！

——我問的是：會(huì)有什么表現(xiàn)？

——看疼到啥程度。像這無(wú)賴的體格，每天挨一個(gè)板子啥事都不會(huì)有，連哼一下都不可能，你也看到他

那得意洋洋的嘴臉了（輸出0）；如果一次連揍他十個(gè)板子，他可能會(huì)皺皺眉頭，咬咬牙，硬挺著不哼（

輸出1）；揍到二十個(gè)板子，他會(huì)疼得臉部扭曲，象豬似地哼哼（輸出3）；揍到三十個(gè)板子，他可能會(huì)

象驢似地嚎叫，一把鼻涕一把淚地求你饒他一命（輸出5）；揍到四十個(gè)板子，他會(huì)大小便失禁，勉強(qiáng)哼

出聲來(lái)（輸出1）；揍到五十個(gè)板子，他連哼一下都不可能（輸出0）—— 死啦！

縣令鋪開坐標(biāo)紙，以打板子的個(gè)數(shù)作為X軸，以哼哼的程度（輸出）為Y軸，繪制了一條曲線：

——嗚呼呀！這曲線象一座高山，弄不懂弄不懂。為啥那個(gè)無(wú)賴連挨了三十天大板卻不喊繞命呀？

——呵呵，你打一次的時(shí)間間隔（Δτ=24小時(shí)）太長(zhǎng)了，所以那個(gè)無(wú)賴承受的痛苦程度一天一利索，沒

有疊加，始終是一個(gè)常數(shù)；如果縮短打板子的時(shí)間間隔（建議Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速

疊加了；等到這無(wú)賴挨三十個(gè)大板（t=30）時(shí)，痛苦程度達(dá)到了他能喊叫的極限，會(huì)收到最好的懲戒效

果，再多打就顯示不出您的仁慈了。

——還是不太明白，時(shí)間間隔小，為什么痛苦程度會(huì)疊加呢？

——這與人（線性時(shí)不變系統(tǒng)）對(duì)板子（脈沖、輸入、激勵(lì)）的響應(yīng)有關(guān)。什么是響應(yīng)？人挨一個(gè)板子

后，疼痛的感覺會(huì)在一天（假設(shè)的，因人而異）內(nèi)慢慢消失（衰減），而不可能突然消失。這樣一來(lái)，

只要打板子的時(shí)間間隔很小，每一個(gè)板子引起的疼痛都來(lái)不及完全衰減，都會(huì)對(duì)最終的痛苦程度有不同

的貢獻(xiàn)：

t個(gè)大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ個(gè)大板子引起的痛苦*衰減系數(shù))[衰減系數(shù)是（t-τ）的函數(shù)，仔細(xì)

品味]

數(shù)學(xué)表達(dá)為：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)

——拿人的痛苦來(lái)說卷積的事，太殘忍了。除了人以外，其他事物也符合這條規(guī)律嗎？

——呵呵，縣令大人畢竟仁慈。其實(shí)除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，鐵絲為什么彎曲一

次不折，快速?gòu)澢啻螀s會(huì)輕易折掉呢？

——恩，一時(shí)還弄不清，容本官慢慢想來(lái)——但有一點(diǎn)是明確地——來(lái)人啊，將撒尿的那個(gè)無(wú)賴抓來(lái)，

狠打40大板！

為小明的存錢函數(shù)，而為存入銀行的每一筆錢的復(fù)利計(jì)算函數(shù)。在這里，小明最終得到的錢就是他的存錢函數(shù)和復(fù)利計(jì)算函數(shù)的卷積。為了更清晰地看到這一點(diǎn)，我們將這個(gè)公式推廣到連續(xù)的情況，也就是說，小明在從到的這一段時(shí)間內(nèi)，每時(shí)每刻都往銀行里存錢，他的存錢函數(shù)為，而銀行也對(duì)他存入的每一筆錢按復(fù)利公式計(jì)算收益：，則小明到時(shí)間將得到的總錢數(shù)為：這也就是卷積的表達(dá)式了，上式可以記為。相信通過上面這個(gè)例子，大家應(yīng)該能夠很清晰地記住卷積公式了。下面我們?cè)僬归_說兩句：如果我們將小明的存款函數(shù)視為一個(gè)信號(hào)發(fā)生（也就是激勵(lì)）的過程，而將復(fù)利函數(shù)視為一個(gè)系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的響應(yīng)函數(shù)（也就是響應(yīng)），那么二者的卷積就可以看做是在時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行觀察，得到的觀察結(jié)果（也就是輸出）將是過去產(chǎn)生的所有信號(hào)經(jīng)過系統(tǒng)的「處理／響應(yīng)」后得到的結(jié)果的疊加，這也就是卷積的物理意義了。

作者：匿名用戶鏈接：https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/34267457來(lái)源：知乎著作權(quán)歸作者所有，轉(zhuǎn)載請(qǐng)聯(lián)系作者獲得授權(quán)。有那么麻煩嗎？不推薦用“反轉(zhuǎn)/翻轉(zhuǎn)/反褶/對(duì)稱”等解釋卷積。好好的信號(hào)為什么要翻轉(zhuǎn)？導(dǎo)致學(xué)生難以理解卷積的物理意義。這個(gè)其實(shí)非常簡(jiǎn)單的概念，國(guó)內(nèi)的大多數(shù)教材卻沒有講透。直接看圖，不信看不懂。以離散信號(hào)為例，連續(xù)信號(hào)同理。已知<img%20src="https://pic4.zhimg.com/153fd3e7911d486edaf0475afb1e54b3_b.png" data-rawwidth="600" data-rawheight="214" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="https://pic4.zhimg.com/153fd3e7911d486edaf0475afb1e54b3_r.png">已知<img%20src="https://pic3.zhimg.com/c47d9d7f7a29c491782bf7b1baea3f8e_b.png" data-rawwidth="600" data-rawheight="214" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="https://pic3.zhimg.com/c47d9d7f7a29c491782bf7b1baea3f8e_r.png">下面通過演示求的過程，揭示卷積的物理意義。第一步，乘以并平移到位置0：<img%20src="https://pic1.zhimg.com/91f5eff235013ac729c44e98b3a537d0_b.png" data-rawwidth="600" data-rawheight="214" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="https://pic1.zhimg.com/91f5eff235013ac729c44e98b3a537d0_r.png">第二步，乘以并平移到位置1：<img%20src="https://pic1.zhimg.com/67c05239b05f671766b9df9393026f2c_b.png" data-rawwidth="600" data-rawheight="214" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="https://pic1.zhimg.com/67c05239b05f671766b9df9393026f2c_r.png">第三步，乘以并平移到位置2：<img%20src="https://pic2.zhimg.com/c34e839a49c6b616c57bde3c3dbbd67d_b.png" data-rawwidth="600" data-rawheight="214" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="https://pic2.zhimg.com/c34e839a49c6b616c57bde3c3dbbd67d_r.png">最后，把上面三個(gè)圖疊加，就得到了：<img%20src="https://pic3.zhimg.com/4ce6cdcc28b10aca73db3f877d86ca02_b.png" data-rawwidth="600" data-rawheight="313" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="600" data-original="https://pic3.zhimg.com/4ce6cdcc28b10aca73db3f877d86ca02_r.png">簡(jiǎn)單吧？無(wú)非是平移（沒有反褶！）、疊加。====================================================從這里，可以看到卷積的重要的物理意義是：一個(gè)函數(shù)（如：?jiǎn)挝豁憫?yīng)）在另一個(gè)函數(shù)（如：輸入信號(hào)）上的加權(quán)疊加。重復(fù)一遍，這就是卷積的意義：加權(quán)疊加。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，如果知道該系統(tǒng)的單位響應(yīng)，那么將單位響應(yīng)和輸入信號(hào)求卷積，就相當(dāng)于把輸入信號(hào)的各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的單位響應(yīng) 加權(quán)疊加，就直接得到了輸出信號(hào)。通俗的說：在輸入信號(hào)的每個(gè)位置，疊加一個(gè)單位響應(yīng)，就得到了輸出信號(hào)。這正是單位響應(yīng)是如此重要的原因。在輸入信號(hào)的每個(gè)位置，疊加一個(gè)單位響應(yīng)，就得到了輸出信號(hào)。這正是單位響應(yīng)是如此重要的原因。在輸入信號(hào)的每個(gè)位置，疊加一個(gè)單位響應(yīng)，就得到了輸出信號(hào)。這正是單位響應(yīng)是如此重要的原因。