概念

全排列的生成算法有很多種，有遞歸遍例，也有循環(huán)移位法等等。C++/STL中定義的next_permutation和PRev_permutation函數則是非常靈活且高效的一種方法，它被廣泛的應用于為指定序列生成不同的排列。本文將詳細的介紹prev_permutation函數的內部算法

按照STL文檔的描述，next_permutation函數將按字母表順序生成給定序列的下一個較大的序列，直到整個序列為減序為止。prev_permutation函數與之相反，是生成給定序列的上一個較小的序列。二者原理相同，僅遍例順序相反，這里僅以next_permutation為例介紹算法。

下文內容都基于一個假設，即序列中不存在相同元素。對序列大小的比較做出定義：兩個長度相同的序列，從兩者的第一個元素開始向后比較，直到出現(xiàn)一個不同元素（也可能就是第它們的第一個元素），該元素較大的序列為大，反之序列為小；若一直到最后一個元素都相同，那么兩個序列相等。

設當前序列為pn，下一個較大的序列為pn+1，那么不存在pm，使得pn < pm < pn+1。

問題

給定任意非空序列，生成下一個較大或較小的序列。

數學推導

根據上述概念易知，對于一個任意序列，最小的序列是增序，最大的序列為減序。那么給定一個pn要如何才能生成pn+1呢？先來看下面的例子：

我們用＜a1 a2 … am>來表示m個數的一種序列。設序列pn=<3 6 4 2>，根據定義可算得下一個序列pn+1=<4 2 3 6>。觀察pn可以發(fā)現(xiàn)，其子序列<6 4 2>已經為減序，那么這個子序列不可能通過交換元素位置得出更大的序列了，因此必須移動最高位3（即a1）的位置，且要在子序列<6 4 2>中找一個數來取代3的位置。子序列<6 4 2>中6和4都比3大，但6大于4。如果用6去替換3得到的序列一定會大于4替換3得到的序列，因此只能選4。將4和3的位置對調后形成排列<4 6 3 2>。對調后得到的子序列<6 3 2>仍保持減序，即這3個數能夠生成的最大的一種序列。而4是第1次作為首位的，需要右邊的子序列最小，因此4右邊的子序列應為<2 3 6>，這樣就得到了正確的一個序列pn+1=<4 2 3 6>。

下面歸納分析該過程。假設一個有m個元素的序列pn，其下一個較大序列為pn+1。

1) 若pn最右端的2個元素構成一個增序子序列，那么直接反轉這2個元素使該子序列成為減序，即可得到pn+1。

2) 若pn最右端一共有連續(xù)的s個元素構成一個減序子序列，令i = m - s，則有pn(i) < pn(i+1)，其中pn(i)表示排列pn的第i個元素。例如pn=<1 2 5 4 3>，那么pn的右端最多有3個元素構成一個減序子集<5 4 3>，i=5-3=2，則有pn(i)=2 < 5=pn(i+1)。因此若將pn(i)和其右邊的子集s {pn(i+1), pn(i+2), …, pn(m)}中任意一個元素調換必能得到一個較大的序列（不一定是下一個）。要保證是下一個較大的序列，必須保持pn(i)左邊的元素不動，并在子集s {pn(i+1), pn(i+2), …, pn(m)}中找出所有比pn(i)大的元素中最小的一個pn(j)，即不存在pn(k) ∈ s且pn(i) < pn(k) < pn(j)，然后將二者調換位置?，F(xiàn)在只要使新子集{pn(i+1), pn(i+2), …, pn(i), …,pn(m)}成為最小序列即得到pn+1。注意到新子集仍保持減序，那么此時直接將其反轉即可得到pn+1 {pn(1), pn(2), …, pn(j), pn(m), pn(m-1), …, pn(i), …, pn(i+2), pn(i+1)}。

復雜度

最好的情況為pn的最右邊的2個元素構成一個最小的增序子集，交換次數為1，復雜度為O(1)，最差的情況為1個元素最小，而右面的所有元素構成減序子集，這樣需要先將第1個元素換到最右，然后反轉右面的所有元素。交換次數為1+(n-1)/2，復雜度為O(n)。因為各種排列等可能出現(xiàn)，所以平均復雜度即為O(n)。

擴展

1. 能否直接算出集合{1, 2, …, m}的第n個排列？

設某個集合{a1, a2, …, am}（a1＜a2<…＜am）構成的某種序列pn，基于以上分析易證得：若as＜at，那么將as作為第1個元素的所有序列一定都小于at作為第1個元素的任意序列。同理可證得：第1個元素確定后，剩下的元素中若as’＜at’，那么將as’作為第2個元素的所有序列一定都小于作為第2個元素的任意序列。例如4個數的集合{2, 3, 4, 6}構成的序列中，以3作為第1個元素的序列一定小于以4或6作為第1個元素的序列；3作為第1個元素的前題下，2作為第2個元素的序列一定小于以4或6作為第2個元素的序列。

推廣可知，在確定前i（i＜n）個元素后，在剩下的m-i=s個元素的集合{aq1, aq2, …, aqm}（aq1＜aq2＜…＜aqm）中，以aqj作為第i+1個元素的序列一定小于以aqj+1作為第i+1個元素的序列。由此可知：在確定前i個元素后，一共可生成s!種連續(xù)大小的序列。

根據以上分析，對于給定的n（必有n<=m!）可以從第1位開始向右逐位地確定每一位元素。在第1位不變的前題下，后面m-1位一共可以生成(m-1)!中連續(xù)大小的序列。若n>(m-1)!，則第1位不會是a1，n中可以容納x個(m-1)!即代表第1位是ax。在確定第1位后，將第1位從原集合中刪除，得到新的集合{aq1，aq2, …, aq3}（aq1＜aq2＜…＜aqm），然后令n1=n-x(m-1)!，求這m-1個數中生成的第n1個序列的第1位。

舉例說明：如7個數的集合為{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，要求出第n=1654個排列。

(1654 / 6!)取整得2，確定第1位為3，剩下的6個數{1, 2, 4, 5, 6, 7}，求第1654 % 6!=214個序列；

(214 / 5!)取整得1，確定第2位為2，剩下5個數{1, 4, 5, 6, 7}，求第214 % 5!=94個序列；

(94 / 4!)取整得3，確定第3位為6，剩下4個數{1, 4, 5, 7}，求第94 % 4!=22個序列；

(22 / 3!)取整得3，確定第4位為7，剩下3個數{1, 4, 5}，求第22 % 3!=4個序列；

(4 / 2!)得2，確定第5為5，剩下2個數{1, 4}；由于4 % 2!=0，故第6位和第7位為增序<1 4>；

因此所有排列為：3267514。

2.給定一種排列，如何算出這是第幾個排列呢？

和前一個問題的推導過程相反。例如3267514：

后6位的全排列為6!，3為{1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7}中第2個元素（從0開始計數），故2*720=1440；

后5位的全排列為5!，2為{1, 2, 4, 5, 6, 7}中第1個元素，故1*5!=120；

后4位的全排列為4!，6為{1, 4, 5, 6, 7}中第3個元素，故3*4!=72；

后3位的全排列為3!，7為{1, 4, 5, 7}中第3個元素，故3*3!=18；

后2位的全排列為2!，5為{1, 4, 5}中第2個元素，故2*2!=4；

最后2位為增序，因此計數0，求和得：1440+120+72+18+4=1654

C++/STL實現(xiàn)

來源：《程序控》博客 – http://www.cnblogs.com/devymex/ 作者：王雨濛