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一、紅黑樹概述

     紅黑樹和我們以前學過的AVL樹類似，都是在進行插入和刪除操作時通過特定操作保持二叉查找樹的平衡，從而獲得較高的查找性能。不過自從紅黑樹出來后，AVL樹就被放到了博物館里，據說是紅黑樹有更好的效率，更高的統計性能。這一點在我們了解了紅黑樹的實現原理后，就會有更加深切的體會。     紅黑樹和AVL樹的區別在于它使用顏色來標識結點的高度，它所追求的是局部平衡而不是AVL樹中的非常嚴格的平衡。學過數據結構的人應該都已經領教過AVL樹的復雜，但AVL樹的復雜比起紅黑樹來說簡直是小巫見大巫，紅黑樹才是真正的變態級數據結構。     由于STL中的關聯式容器默認的底層實現都是紅黑樹，因此紅黑樹對于后續學習STL源碼還是很重要的，有必要掌握紅黑樹的實現原理和源碼實現。     紅黑樹是AVL樹的變種，紅黑樹通過一些著色法則確保沒有一條路徑會比其它路徑長出兩倍，因而達到接近平衡的目的。所謂紅黑樹，不僅是一個二叉搜索樹，而且必須滿足一下規則：     1、每個節點不是紅色就是黑色。     2、根節點為黑色。     3、如果節點為紅色，其子節點必須為黑色。     4、任意一個節點到到NULL（樹尾端）的任何路徑，所含之黑色節點數必須相同。上面的這些約束保證了這個樹大致上是平衡的，這也決定了紅黑樹的插入、刪除、查詢等操作是比較快速的。 根據規則4，新增節點必須為紅色；根據規則3，新增節點之父節點必須為黑色。當新增節點根據二叉搜索樹的規則到達其插入點時，卻未能符合上述條件時，就必須調整顏色并旋轉樹形，如下圖：假設我們為上圖分別插入節點3、8、35、75，根據二叉搜索樹的規則，插入這四個節點后，我們會發現它們都破壞了紅黑樹的規則，因此我們必須調整樹形，也就是旋轉樹形并改變節點的顏色。

二、紅黑樹上結點的插入

      在討論紅黑樹的插入操作之前必須要明白，任何一個即將插入的新結點的初始顏色都為紅色。這一點很容易理解，因為插入黑點會增加某條路徑上黑結點的數目，從而導致整棵樹黑高度的不平衡。但如果新結點的父結點為紅色時（如下圖所示），將會違反紅黑樹的性質：一條路徑上不能出現相鄰的兩個紅色結點。這時就需要通過一系列操作來使紅黑樹保持平衡。      為了清楚地表示插入操作以下在結點中使用“新”字表示一個新插入的結點；使用“父”字表示新插入點的父結點；使用“叔”字表示“父”結點的兄弟結點；使用“祖”字表示“父”結點的父結點。插入操作分為以下幾種情況：1、黑父     如下圖所示，如果新節點的父結點為黑色結點，那么插入一個紅點將不會影響紅黑樹的平衡，此時插入操作完成。紅黑樹比AVL樹優秀的地方之一在于黑父的情況比較常見，從而使紅黑樹需要旋轉的幾率相對AVL樹來說會少一些。2、紅父     如果新節點的父結點為紅色，這時就需要進行一系列操作以保證整棵樹紅黑性質。如下圖所示，由于父結點為紅色，此時可以判定，祖父結點必定為黑色。這時需要根據叔父結點的顏色來決定做什么樣的操作。青色結點表示顏色未知。由于有可能需要根結點到新點的路徑上進行多次旋轉操作，而每次進行不平衡判斷的起始點（我們可將其視為新點）都不一樣。所以我們在此使用一個藍色箭頭指向這個起始點，并稱之為判定點。2.1 紅叔當叔父結點為紅色時，如下圖所示，無需進行旋轉操作，只要將父和叔結點變為黑色，將祖父結點變為紅色即可。但由于祖父結點的父結點有可能為紅色，從而違反紅黑樹性質。此時必須將祖父結點作為新的判定點繼續向上（迭代）進行平衡操作。需要注意的是，無論“父節點”在“叔節點”的左邊還是右邊，無論“新節點”是“父節點”的左孩子還是右孩子，它們的操作都是完全一樣的（其實這種情況包括4種，只需調整顏色，不需要旋轉樹形）。2.2 黑叔當叔父結點為黑色時，需要進行旋轉，以下圖示了所有的旋轉可能：Case 1:Case 2:Case 3:

Case 4:

      可以觀察到，當旋轉完成后，新的旋轉根全部為黑色，此時不需要再向上回溯進行平衡操作，插入操作完成。需要注意，上面四張圖的“叔”、“1”、“2”、“3”結點有可能為黑哨兵結點。      其實紅黑樹的插入操作不是很難，甚至比AVL樹的插入操作還更簡單些。紅黑樹的插入操作源代碼如下：[cpp] view plain copy// 元素插入操作  insert_unique()  // 插入新值：節點鍵值不允許重復，若重復則插入無效  // 注意，返回值是個pair，第一個元素是個紅黑樹迭代器，指向新增節點  // 第二個元素表示插入成功與否  template<class Key , class Value , class KeyOfValue , class Compare , class Alloc>  pair<typename rb_tree<Key , Value , KeyOfValue , Compare , Alloc>::iterator , bool>  rb_tree<Key , Value , KeyOfValue , Compare , Alloc>::insert_unique(const Value &v)  {      rb_tree_node* y = header;    // 根節點root的父節點      rb_tree_node* x = root();    // 從根節點開始      bool comp = true;      while(x != 0)      {          y = x;          comp = key_compare(KeyOfValue()(v) , key(x));    // v鍵值小于目前節點之鍵值？          x = comp ? left(x) : right(x);   // 遇“大”則往左，遇“小于或等于”則往右      }      // 離開while循環之后，y所指即插入點之父節點（此時的它必為葉節點）      iterator j = iterator(y);     // 令迭代器j指向插入點之父節點y      if(comp)     // 如果離開while循環時comp為真（表示遇“大”，將插入于左側）      {          if(j == begin())    // 如果插入點之父節點為最左節點              return pair<iterator , bool>(_insert(x , y , z) , true);          else     // 否則（插入點之父節點不為最左節點）              --j;   // 調整j，回頭準備測試      }      if(key_compare(key(j.node) , KeyOfValue()(v) ))          // 新鍵值不與既有節點之鍵值重復，于是以下執行安插操作          return pair<iterator , bool>(_insert(x , y , z) , true);      // 以上，x為新值插入點，y為插入點之父節點，v為新值        // 進行至此，表示新值一定與樹中鍵值重復，那么就不應該插入新值      return pair<iterator , bool>(j , false);  }    // 真正地插入執行程序 _insert()  template<class Key , class Value , class KeyOfValue , class Compare , class Alloc>  typename<Key , Value , KeyOfValue , Compare , Alloc>::_insert(base_ptr x_ , base_ptr y_ , const Value &v)  {      // 參數x_ 為新值插入點，參數y_為插入點之父節點，參數v為新值      link_type x = (link_type) x_;      link_type y = (link_type) y_;      link_type z;        // key_compare 是鍵值大小比較準則。應該會是個function object      if(y == header || x != 0 || key_compare(KeyOfValue()(v) , key(y) ))      {          z = create_node(v);    // 產生一個新節點          left(y) = z;           // 這使得當y即為header時，leftmost() = z          if(y == header)          {              root() = z;              rightmost() = z;          }          else if(y == leftmost())     // 如果y為最左節點              leftmost() = z;          // 維護leftmost()，使它永遠指向最左節點      }      else      {          z = create_node(v);        // 產生一個新節點          right(y) = z;              // 令新節點成為插入點之父節點y的右子節點          if(y == rightmost())              rightmost() = z;       // 維護rightmost()，使它永遠指向最右節點      }      parent(z) = y;      // 設定新節點的父節點      left(z) = 0;        // 設定新節點的左子節點      right(z) = 0;       // 設定新節點的右子節點      // 新節點的顏色將在_rb_tree_rebalance()設定（并調整）      _rb_tree_rebalance(z , header->parent);      // 參數一為新增節點，參數二為根節點root      ++node_count;       // 節點數累加      return iterator(z);  // 返回一個迭代器，指向新增節點  }      // 全局函數  // 重新令樹形平衡（改變顏色及旋轉樹形）  // 參數一為新增節點，參數二為根節點root  inline void _rb_tree_rebalance(_rb_tree_node_base* x , _rb_tree_node_base*& root)  {      x->color = _rb_tree_red;    //新節點必為紅      while(x != root && x->parent->color == _rb_tree_red)    // 父節點為紅      {          if(x->parent == x->parent->parent->left)      // 父節點為祖父節點之左子節點          {              _rb_tree_node_base* y = x->parent->parent->right;    // 令y為伯父節點              if(y && y->color == _rb_tree_red)    // 伯父節點存在，且為紅              {                  x->parent->color = _rb_tree_black;           // 更改父節點為黑色                  y->color = _rb_tree_black;                   // 更改伯父節點為黑色                  x->parent->parent->color = _rb_tree_red;     // 更改祖父節點為紅色                  x = x->parent->parent;              }              else    // 無伯父節點，或伯父節點為黑色              {                  if(x == x->parent->right)   // 如果新節點為父節點之右子節點                  {                      x = x->parent;                      _rb_tree_rotate_left(x , root);    // 第一個參數為左旋點                  }                  x->parent->color = _rb_tree_black;     // 改變顏色                  x->parent->parent->color = _rb_tree_red;                  _rb_tree_rotate_right(x->parent->parent , root);    // 第一個參數為右旋點              }          }          else          // 父節點為祖父節點之右子節點          {              _rb_tree_node_base* y = x->parent->parent->left;    // 令y為伯父節點              if(y && y->color == _rb_tree_red)    // 有伯父節點，且為紅              {                  x->parent->color = _rb_tree_black;           // 更改父節點為黑色                  y->color = _rb_tree_black;                   // 更改伯父節點為黑色                  x->parent->parent->color = _rb_tree_red;     // 更改祖父節點為紅色                  x = x->parent->parent;          // 準備繼續往上層檢查              }              else    // 無伯父節點，或伯父節點為黑色              {                  if(x == x->parent->left)        // 如果新節點為父節點之左子節點                  {                      x = x->parent;                      _rb_tree_rotate_right(x , root);    // 第一個參數為右旋點                  }                  x->parent->color = _rb_tree_black;     // 改變顏色                  x->parent->parent->color = _rb_tree_red;                  _rb_tree_rotate_left(x->parent->parent , root);    // 第一個參數為左旋點              }          }      }//while      root->color = _rb_tree_black;    // 根節點永遠為黑色  }      // 左旋函數  inline void _rb_tree_rotate_left(_rb_tree_node_base* x , _rb_tree_node_base*& root)  {      // x 為旋轉點      _rb_tree_node_base* y = x->right;          // 令y為旋轉點的右子節點      x->right = y->left;      if(y->left != 0)          y->left->parent = x;           // 別忘了回馬槍設定父節點      y->parent = x->parent;        // 令y完全頂替x的地位（必須將x對其父節點的關系完全接收過來）      if(x == root)    // x為根節點          root = y;      else if(x == x->parent->left)         // x為其父節點的左子節點          x->parent->left = y;      else                                  // x為其父節點的右子節點          x->parent->right = y;      y->left = x;      x->parent = y;  }      // 右旋函數  inline void _rb_tree_rotate_right(_rb_tree_node_base* x , _rb_tree_node_base*& root)  {      // x 為旋轉點      _rb_tree_node_base* y = x->left;          // 令y為旋轉點的左子節點      x->left = y->right;      if(y->right != 0)          y->right->parent = x;           // 別忘了回馬槍設定父節點      y->parent = x->parent;        // 令y完全頂替x的地位（必須將x對其父節點的關系完全接收過來）      if(x == root)          root = y;      else if(x == x->parent->right)         // x為其父節點的右子節點          x->parent->right = y;      else                                  // x為其父節點的左子節點          x->parent->left = y;      y->right = x;      x->parent = y;  }  轉載請標明出處，原文地址：http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7740956