#HDU1576# A/B

2019-11-10 23:31:52

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供稿：網(wǎng)友

[A/B]

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我們只給出n(n=A%9973)(我們給定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。Input數(shù)據(jù)的第一行是一個(gè)T，表示有T組數(shù)據(jù)。每組數(shù)據(jù)有兩個(gè)數(shù)n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。Output對應(yīng)每組數(shù)據(jù)輸出(A/B)%9973。Sample Input

21000 5387 123456789Sample Output79226060
對于任意整數(shù)a，b，總有ax+by=gcd(a,b).x,y為整數(shù)，
若整數(shù)a,b互質(zhì)，則有ax+by=gcd(a,b)=1，x,y為整數(shù)，則k*a%b=1.其中k為整數(shù)。
稱x為a關(guān)于mod b的逆元。
此題中，要求a/b%n，因?yàn)槌ㄖ胁荒苣?，所以轉(zhuǎn)換，則：
a / b % n = a / b * 1 % n = a / b * b(逆) * b % n = a * b(逆) % n.
即使用歐幾里得算法求出B與模數(shù)9973的逆元與A相乘即可。
歐幾里得算法證明：
a * x + b * y = gcd (a , b) = gcd (b , a % b) = b * x1 + (a % b) * y1
素?cái)?shù)時(shí)：a * x % b = 1
a * x + b * y  = b * x1 + (a % b) * y1
      = b * x2 + (a - (int)(a / b) * b ) * y1
      = b * x1 + a * y1 - (int)(a / b) * y1 * b
因?yàn)榇藶榈仁?，所以兩邊a,b對應(yīng)系數(shù)相等
整理：
x = y1;
y = x1 - (int)(a / b) * y1;
當(dāng)通過輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行到最底層，即b == 0時(shí)：
得到 xk = ak , yk = 0;
返回上層得到對應(yīng)的 x(k - 1) = yk = 0 , y(k - 1) = xk - (int)( a(k - 1) / b(k - 1)) * yk = ak ;
實(shí)現(xiàn)：
void gcd(LL A, LL B, LL &d, LL &x, LL &y){//歐幾里得算法實(shí)現(xiàn)	if(!B){d=A,x=1,y=0;}	else {		gcd(B,A%B,d,y,x);		y-=x*(A/B);	}	return ;}Code:(0ms)
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;typedef long long LL;const LL mod=9973;void gcd(LL A, LL B, LL &d, LL &x, LL &y){	if(!B){d=A,x=1,y=0;}	else {		gcd(B,A%B,d,y,x);		y-=x*(A/B);	}	return ;}int main(){	int T,A,B;	LL d,x,y;	scanf("%d", &T);	while(T){		--T;		scanf("%d%d", &A,&B);		gcd(B,mod,d,x,y);		A=A*x%mod;		if(A<0)A+=mod;		PRintf("%d/n",A);	}	return 0;}