我們不妨回憶一下，矩陣是怎么產生的。矩陣可以看成是一個個向量的有序組合，這說明矩陣可以類比向量；但是向量又是怎么產生的？向量則是一個個數字的有序組合，這又把我們的研究方向指向了“數字是什么”這個問題上。比如，數字1是什么？它可以代表1米，可以代表1千克，也可以代表1分鐘、1攝氏度甚至1個蘋果。它為什么有這么多的表示意義？答案很簡單，因為在本質上，它什么都不是，它就是數字1，一個記號，一個抽象的概念。正因為它抽象，它才可以被賦予各種各樣直觀的意義！回到矩陣本身，我們才會明白，矩陣的作用如此之大，就是因為書本上那個很枯燥的定義——矩陣就是m行n列的一個數表！它把矩陣抽象出來，讓它得到了“進化”。它是一個更一般化的概念：一個向量可以看作一個矩陣，甚至一個數都可以看成一個矩陣，等等。
在現實世界里存在三維空間的問題，比如當一架飛機從地面起飛，就會有平移、旋轉等動作，如果要描述這架飛機上所有點的坐標變化，需要引入三維空間坐標，這樣每一點的變化就需在三個維度上描述，引入線性變換的線性方程組，而處理這些線性方程組，就需要計算系數與三個變量的關系，再加上空間方向引入，就剛好是三維矩陣來處理了。由此可見，矩陣在描述三維物體的運動的變化是一個很合適的工具。
同理，矩陣是用來描述運動變化的工具，運動變化再具體一點，就是變換。比如一個物體等比例變大或縮小，這種變化就可采用矩陣來描述。
再比如說，仿射變換，就是在仿射空間里從一個點到另一個點的躍遷。附帶說一下，這個仿射空間跟向量空間是親兄弟。做計算機圖形學的朋友都知道，盡管描述一個三維對象只需要三維向量，但所有的計算機圖形學變換矩陣都是4 x 4的。說其原因，很多書上都寫著“為了使用中方便”，這在我看來簡直就是企圖蒙混過關。真正的原因，是因為在計算機圖形學里應用的圖形變換，實際上是在仿射空間而不是向量空間中進行的。想想看，在向量空間里相一個向量平行移動以后仍是相同的那個向量，而現實世界等長的兩個平行線段當然不能被認為同一個東西，所以計算機圖形學的生存空間實際上是仿射空間。而仿射變換的矩陣表示根本就是4 x 4的。
“矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而 作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個坐標系（基）表換到另一個坐標系（基）去。而且，變換點 與變換坐標系，具有異曲同工的效果。線性代數里最有趣的奧妙，就蘊含在其中。理解了這些內容，線性代數里很多定理和規則會變得更加清晰、直覺。
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