視覺(jué)慣性單目SLAM （五）-線性和二次型

2019-11-06 09:35:16

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供稿：網(wǎng)友

1. 矩陣基本運(yùn)算法則

大寫(xiě)字母是矩陣，小寫(xiě)字母是向量矩陣乘法 (AB)C=A(BC)A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AB+BC $(AB)C = A(BC) //A(B+C) = AB +AC //(A+B)C = AB + BC$ 可交換矩陣 AB=BA $AB=BA$ 矩陣轉(zhuǎn)置 (AT)T=A(A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT $(A^T)^T = A //(A+B)^T = A^T + B^T //(AB)^T = B^TA^T$ 向量?jī)?nèi)積(常用于最小二乘法 $/color {red}{常用于最小二乘法}$ ) x∈Rn×1，則有： $x /in R^{n /times 1}，則有：$ xTx=||x||2=∑i=1nx2i $x^Tx=||x||^2 = /sum_{i=1}^n x_i^2$ 幾何意義：向量x長(zhǎng)度的平方 $幾何意義：向量x長(zhǎng)度的平方$ 方陣A∈Rn×n $/color {red}{方陣 A /in R^{n /times n}}$ 對(duì)稱矩陣 $/color {red}{對(duì)稱矩陣}$ ：AT=A，A=A+AT2 $A^T=A， /quad /quad A = /frac {A+A^T}{2}$ 反對(duì)稱矩陣 $/color {red}{反對(duì)稱矩陣}$ ：AT=?A $A^T=-A$ 矩陣的逆 $/color {red}{矩陣的逆}$ 1) r(A)=n?A是非奇異的（non?singular） $r(A) = n /iff A是非奇異的（non-singular）$ 2) r(A)<n?A是奇異的（singular） $r(A) < n /iff A是奇異的（singular）$ 3) AA?1=A?1A=I $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ 4) (A?1)T=(AT)?1 $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ 5) (AB)?1=B?1A?1 $(AB)^{-1} =B^{-1}A^{-1}$ 6) 若A為正交矩陣，則A?1=AT $若A為正交矩陣，則A^{-1} = A^T$

2. 線性和二次型

線性和二次型：Linear forms and Quadratic forms符號(hào)：a∈Rn×1，A∈Rn×n,B∈Rn×m,x∈Rn×1，y∈Rm×1 $a /in R^{n /times 1}， A /in R ^{n /times n}, B /in R^{n /times m} , x /in R^{n /times 1}， y /in R^{m /times 1}$ x的線性表示： $/color {/red}{x的線性表示：}$ aTx $a^Tx$ x的二次型： $/color {/red}{x的二次型：}$ xTAx $x^TAx$ 若A是對(duì)稱矩陣，則有：xTAx=xT(A+AT2)x $x^TAx = x^T/left(/frac {A+A^T}{2} /right)x$ 對(duì)稱矩陣A的正定的判別方式： 1）?x≠0，若xTAx>0 $/forall x /neq 0，若x^TAx >0$ ，則A是正定矩陣（positive definite） 2）?x，若xTAx≥0 $/forall x/quad/;/;/;，若x^TAx /ge0$ ，則A是半正定矩陣（positive semidefinite） 3）?x≠0，若xTAx<0 $/forall x /neq 0，若x^TAx <0$ ，則A是負(fù)定矩陣（negative definite） 4）?x，若xTAx≤0 $/forall x /quad/;/;/;，若x^TAx /le0$ ，則A是半負(fù)定矩陣（positive semidefinite） 5）若一些x使xTAx>0，另一些x使xTAx<0 $若一些x使x^TAx > 0，另一些x使x^TAx < 0$ ，則A是不定的（indefinite）x和y的雙線性表示： $/color {/red}{x和y的雙線性表示：}$ xTBy $x^TBy$ 對(duì)x和y都分別是線性表示，所以叫雙線性表示 $/quad/quad 對(duì)x和y都分別是線性表示，所以叫雙線性表示$ 有用的定理,A∈Rm×n，B∈Rn×p,C∈Rn×p,x∈Rn×1 $/color {/red}{有用的定理}, A /in R ^{m /times n}， B /in R^{n /times p}, C /in R^{n /times p}, x /in R^{n /times 1}$ (a) Ax=0?ATAx=0 $Ax = 0 /iff A^TAx = 0$ (b) AB=0?ATAB=0 $AB = 0 /iff A^TAB = 0$ (c) ATAB=ATAC?AB=AC $A^TAB = A^TAC /iff AB = AC$ $/color {/red}{}$

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