1、最小二乘也可以擬合二次函數

我們都知道用最小二乘擬合線性函數沒有問題，那么能不能擬合二次函數甚至更高次的函數呢？答案當然是可以的。下面我們就來試試用最小二乘來擬合拋物線形狀的的圖像。

對于二次函數來說，一般形狀為 f(x) = a*x*x+b*x+c，其中a,b,c為三個我們需要求解的參數。為了確定a、b、c，我們需要根據給定的樣本，然后通過調整這些參數，知道最后找出一組參數a、b、c，使這些所有的樣本點距離f(x)的距離平方和最小。用什么方法來調整這些參數呢？最常見的自然就是我們的梯度下降嘍。

spicy庫中有名為leastsq的方法，只需要輸入一系列樣本點，給出待求函數的基本形狀，就可以針對上述問題求解了。

2、拋物線擬合源碼

#!/usr/bin/env python# coding:utf-8import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.optimize import leastsq# 待擬合的數據X = np.array([1,2,3,4,5,6])Y=np.array([9.1,18.3,32,47,69.5,94.8])# 二次函數的標準形式def func(params, x): a, b, c = params return a * x * x + b * x + c# 誤差函數，即擬合曲線所求的值與實際值的差def error(params, x, y): return func(params, x) - y# 對參數求解def slovePara(): p0 = [10, 10, 10] Para = leastsq(error, p0, args=(X, Y)) return Para# 輸出最后的結果def solution(): Para = slovePara() a, b, c = Para[0] print "a=",a," b=",b," c=",c print "cost:" + str(Para[1]) print "求解的曲線是:" print("y="+str(round(a,2))+"x*x+"+str(round(b,2))+"x+"+str(c)) plt.figure(figsize=(8,6)) plt.scatter(X, Y, color="green", label="sample data", linewidth=2) # 畫擬合直線 x=np.linspace(0,12,100) ##在0-15直接畫100個連續點 y=a*x*x+b*x+c ##函數式 plt.plot(x,y,color="red",label="solution line",linewidth=2) plt.legend() #繪制圖例 plt.show()solution()

上面的代碼中，稍微注意的是如下幾點：

1.func是待擬合的曲線的形狀。本例中為二次函數的標準形式。

2.error為誤差函數。很多同學會問不應該是最小平方和嗎？為什么不是func(params, x) - y * func(params, x) - y？原因是名為lasts的方法中幫我們做了。看一下sklearn中源碼的注釋就知道什么情況了：

Minimize the sum of squares of a set of equations. x = arg min(sum(func(y)**2,axis=0))   y

二次方的操作在源碼中幫我們實現了。

3.p0里放的是a、b、c的初始值，這個值可以隨意指定。往后隨著迭代次數增加，a、b、c將會不斷變化，使得error函數的值越來越小。

4.leastsq的返回值是一個tuple，它里面有兩個元素，第一個元素是a、b、c的求解結果，第二個則為cost function的大小！

3.程序的最終結果與擬合曲線

程序最終的輸出結果：

a= 2.06607141425 b= 2.5975001036 c= 4.68999985496cost:1求解的曲線是:y=2.07x*x+2.6x+4.68999985496